ความประหลาดใจของทฤษฎี
บทความเว็บสล็อตแตกง่ายไม่สมบูรณ์ของเคิร์ต โกเดลในปี 1931 นั้นไม่ได้มีอยู่ในความไม่สมบูรณ์มากนัก แต่พบว่าทฤษฎีนี้พบในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ง่ายๆ ว่าเป็นเลขคณิตอันดับหนึ่ง ดังนั้น ตามทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือตรรกะใด ๆ ที่เข้มข้นกว่าซึ่งส่วนใหญ่แล้วก็ยังไม่สมบูรณ์ นอกจากนี้ วิธีการพิสูจน์ของ Gödel ซึ่งอธิบายอย่างละเอียดถึงสิ่งที่กลายเป็นที่รู้จักในนามฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำนั้นมีผลในสิทธิของตนเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันช่วยในการสร้างตัวเลขที่คำนวณได้ของ Alan Turing ในปี 1936 และพบว่ามันไม่สามารถตัดสินใจได้ในจำนวนที่จำกัดว่าคอมพิวเตอร์สามารถคำนวณตัวเลขที่กำหนดได้หรือไม่ และสูตรใดที่แสดงในระบบนี้ได้หรือไม่ ยังเป็นทฤษฎีบทของมัน
ทัวริงคือฮีโร่ของ Gregory Chaitin ในแง่ของผลลัพธ์โดยรวมที่ไม่สามารถตัดสินได้ว่าคอมพิวเตอร์จะทำงานให้สำเร็จหรือไม่ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด การขยายแนวความคิดของทัวริงซึ่งสร้าง ‘ปัญหาการหยุดชะงัก’ นี้ ที่จริงแล้วดูเหมือนว่าจะมาจากมาร์ติน เดวิสในช่วงต้นทศวรรษ 1950 ใน Meta Math นั้น Chaitin ได้ขยายแนวความคิดนี้โดยใช้แนวคิดของโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อศึกษาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สมบูรณ์ เขียนขึ้นสำหรับผู้อ่านทั่วไป หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยข้อความหลักประมาณ 160 หน้า ตามด้วยการพิมพ์ซ้ำของเอกสารก่อนหน้าสองฉบับที่มีลักษณะทางเทคนิคมากกว่า
แนวคิดหลักในหนังสือเล่มนี้ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากชีววิทยาคือ ‘ความซับซ้อน’ ของโปรแกรม ซึ่งระบุไว้ในแง่ของโปรแกรมที่เล็กที่สุด (ในขนาดบิต) ที่สามารถสร้างผลลัพธ์บางอย่างได้ โปรแกรมดังกล่าวลดทอนไม่ได้หรือบีบอัดไม่ได้: “ดังนั้นคุณสามารถกำหนดความสุ่มเป็นสิ่งที่ไม่สามารถบีบอัดได้เลย” Chaitin กล่าว ตามหลังเลขโอเมก้า ซึ่งเป็นจำนวนจริงบวกเชิงซ้อนเชิงซ้อนไม่จำกัดซึ่งระบุความน่าจะเป็นที่จะหยุด ดังที่ชายตินกล่าวไว้ มันถูกกำหนดจากโปรแกรมทั้งหมดที่เลือกโดยบังเอิญให้ทำงานบนคอมพิวเตอร์แบบอยู่กับที่ และยังทำงานต่อไปโดยการตัดสินใจของผู้ดำเนินการแบบสุ่ม จนกว่าคอมพิวเตอร์จะ “ต้องตัดสินใจด้วยตัวเองว่าเมื่อใดควรหยุดอ่านโปรแกรม” ถ้าโปรแกรมหยุดทำงานหลังจาก k บิต มันจะมีส่วน 1/2k ของตัวเลข ตามที่ระบุไว้ จำนวนขึ้นอยู่กับคอมพิวเตอร์ที่ใช้ สันนิษฐานว่าเครื่องนี้มีประสิทธิภาพทัวริงเพียงพอที่จะรันโปรแกรมใดๆ ที่ติดตั้งอยู่บนเครื่อง จากข้ออ้างที่อภิปรายว่าทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใดๆ สามารถเข้ารหัสได้ในแง่ของการเขียนโปรแกรม Chatin สรุปว่าหมายเลขโอเมก้า “ทำเครื่องหมายขอบเขตปัจจุบันของสิ่งที่คณิตศาสตร์สามารถทำได้”
การสืบสวนของ Chatin มีผู้เข้าร่วมหลายคน
เกี่ยวกับความขัดแย้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งผู้ที่เกี่ยวข้องกับการตั้งชื่อ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้มีคุณสมบัติเป็นโปรแกรมที่เอื้อต่อหมายเลขโอเมก้า โปรแกรมจะต้องสามารถบอกได้ว่าจำนวนเท่าใดเมื่อหยุดทำงาน ความกังวลประเภทนี้ยังเป็นหนี้อยู่มากกับทฤษฎีบทของ Gödel ในปี 1931 ซึ่งมีการกำหนดมาตรฐานใหม่ในการแยกแยะตรรกะออกจากเมตาโลจิก น่าเสียดายที่ชัยตินไม่เคยกล่าวทฤษฎีบทนั้นอย่างแม่นยำ และแม้แต่ครั้งเดียวก็กล่าวผิดทีเดียว
ขอบเขตของโปรแกรมเมตาดาต้าของผู้เขียน (ตามที่เป็นอยู่) นั้นน่าประทับใจ: สมมติฐานและขั้นตอนที่ตรงไปตรงมาโดยพื้นฐานแล้วนำไปสู่ผลที่ตามมาและการกล่าวอ้างในวงกว้างเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ บัญชีนี้มีป้ายบอกทางอย่างสวยงามโดยใช้กล่องข้อมูลที่มีคำจำกัดความ ขั้นตอน หรือความสัมพันธ์หลักเป็นประจำ เนื่องจากหนังสือเล่มนี้มีไว้สำหรับผู้ชมจำนวนมาก จึงอาจมีความคิดเห็นบางส่วนเกี่ยวกับการพัฒนาที่เกิดขึ้นพร้อมกันซึ่งใช้แนวคิดหลักในรูปแบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น ความซับซ้อน (ที่ไม่ใช่ทางชีวภาพ) กับ A.N. Kolmogorov ในทศวรรษ 1960 หรือขอบเขตของกิจกรรมอัจฉริยะที่อยู่เหนือความสามารถในการคำนวณ ตามที่ Roger Penrose และคนอื่นๆ อภิปรายกันในช่วงไม่กี่ครั้งที่ผ่านมา
รูปแบบการเขียนทั่วๆ ไปเหมาะกับห้องสนทนาทางอินเทอร์เน็ตมากกว่าในหนังสือ (“Discours de Métaphysique — that’s the original French” เป็นเพียงตัวอย่างเดียวเท่านั้น) และมีเครื่องหมายอัศเจรีย์กระจายอย่างเสรี แทนที่จะอ้างอิงถึงงานที่มีการอ้างถึงอย่างแม่นยำในข้อความนี้ “ฉันตัดสินใจที่จะจดจ่ออยู่กับหนังสือเล่มล่าสุดที่ดึงดูดสายตาเป็นส่วนใหญ่” ผู้เขียนกล่าว รายการนี้ไม่มีผลงานสำคัญอื่นๆ เช่น Logical Dilemmas ของ J. W. Dawson, The Life and Work of Kurt Gödel (A.K. Peters, 1997) และ The Essential Turing, แก้ไขโดย B.J. Copeland (Oxford University Press, 2004)
ข้อสังเกตทางประวัติศาสตร์มากมายเกิดขึ้น แต่ดูเหมือนไม่มีความรู้เกี่ยวกับตัวเลขที่เกี่ยวข้องและความสำคัญ ตัวอย่างเช่น “Leibniz อัจฉริยะแห่งศตวรรษที่ 17 ที่เกือบถูกลืม”, “Newton’s incomprehensible Principia — เขียนในรูปแบบของ Euclid’s Elements” หรือ “มันเป็นความหมกมุ่นของคันทอร์กับความไม่มีที่สิ้นสุดและการมีชัยของพระเจ้าที่ทำให้เขาสร้าง…ทฤษฎีของเขา ของเซตอนันต์และจำนวนอนันต์” ผู้อ่านควรพร้อมที่จะเพิ่มเครื่องหมายอัศเจรีย์ของตนเองในข้อความดังกล่าว
เป็นเรื่องดีที่มีหนังสือยอดนิยมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ และวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ แต่จะดีกว่าถ้าพวกเขาเตรียมด้วยความระมัดระวังเว็บสล็อตแตกง่าย
